Un_100
U
nidades Didácticas
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Índice del área de Geometría



Un_001_AreaDeUnTriangulo

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El √°rea de un tri√°ngulo

El objetivo de esta unidad es mostrar al estudiante el origen y la validez de la famosa fórmula: área = base por altura sobre dos, para calcular el área de un triángulo y prepararlo para reconocer las diversas situaciones en las que no puede ser aplicada directamente y cómo resolverlas usando las herramientas matemáticas más simples, esencialmente, el Teorema de Pitágoras y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grados.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Algebra elemental
Nivel: Licenciatura

Un_002_SemejanzaDeTriangulos

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Semejanza de triángulos

El objetivo de esta unidad es mostrar gráficamente al estudiante la semejanza de triángulos cuando comparten 1) un mínimo de 2 ángulos o, 2) cuando comparten un ángulo y sus lados adyacentes son proporcionales entre sí. Se demuestra que los triángulos semejantes tienen sus lados proporcionales. La presentación de esta unidad es equivalente a la teoría de las proporciones de Eudoxo que se encuentra en el libro V de Los Elementos de Euclides.

Área: Matemáticas, Geometría, Geometría clásica
Nivel: Licenciatura

Un_003_IntroduccionALaGeometriaAnalitica

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Introducción a la geometría analítica

El objetivo de esta unidad es familiarizar al alumno con las curvas b√°sicas de la geometría analítica, así como mostrar gráficamente que provienen de cortar un cono con un plano (a lo cual se debe el nombre 'secciones cónicas'). En una de las escenas el usuario puede manipular la apertura, inclinación y posición del cono para hacer evidente que es posible construir las cuatro secciones (circunferencia, elipse, parábola e hipérbola) con cortes del cono. Se muestra la equivalencia entre las secciones cónicas y la ecuación general de segundo grado en dos variables.

Área: Matemáticas, Geometría analítica
Nivel: Licenciatura

Un_012_VectoresYSusOperaciones

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Vectores y sus operaciones

En esta unidad didáctica se busca la comprensión del concepto de vector desde el punto de vista de la Física, así como de las siguientes operaciones y su aplicación: * Suma * Producto por escalar * Diferencia * Producto punto * Producto cruz

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_014_LaRectaUnEnfoqueVectorial

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La recta, un enfoque vectorial

La intención de esta unidad didáctica es mostrar al usuario cómo a partir de operaciones entre vectores se puede definir una recta y se puede obtener información de la misma a través de los elementos que conforman su ecuación vectorial. El enfoque vectorial permite estudiar aplicaciones directas de la recta como la distancia de un punto a una recta, identificación de rectas paralelas y perpendiculares, obtención del punto de intersección entre dos rectas y también la obtención del ángulo entre dos rectas

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a Anal√≠tica, Vectores
Nivel: Licenciatura

Un_015_ElCirculoUnEnfoqueVectorial

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El círculo, un enfoque vectorial

Con lo anterior se plantean los siguientes objetivos en la presente unidad didactica: 1. Explicar de manera didáctica, el concepto matemático de círculo, y en particular su forma vectorial. 2. Revisar y distinguir las formas de representar este lugar geométrico: la ecuación ordinaria, paramétrica y vectorial. 3. Comprender la relación que hay entre las variables involucradas en este lugar geométrico. 4. Ofrecer los instrumentos teóricos necesarios para la resolución de problemas que involucran problemas asociados con el círculo en su forma vectorial. 5. Interpretar gráficamente cada uno de los parámetros y su vínculo con el círculo.

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_016_GeometriaEsferica

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Geometría esférica

Se determina la trayectoria mínima sobre una esfera entre dos de sus puntos, es decir se determina la geod&iecute;sica entre esos dos puntos. Se define qué es un segmento esférico y un triángulo esférico. Se comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es superior a 180¬ļ Y se muestra que la geometría esférica no es una geometría ecuclídea, que hay otras geometrías.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_017_DiscoDePoincare

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Geometrías no euclídeas: Disco de Poincaré

Se plantea el modelo geométrico bidimensional denominado "El disco de Poincaré": interior del círculo, en el que las geod√©sicas son arcos de circunferencias euclídeas ortogonales a su frontera. Se muestran los objetos básicos en el disco de Poincaré: los segmentos, circunferencias, ángulos y sus particularidades para el observador euclídeo. Se comprueba que la suma de los ángulos de un triángulo en el disco de Poincaré es inferior a 180¬ļ Finalmente se muestra que la geometráa del disco de Poincaré no es una geometría euclídea, es decir, hay otras geometrías.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_018_GeometriasNoEuclideas

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Geometr√≠a no euclídeas

Se introducen los fundamentos de la Geometr√≠a Euclídea. Se enuncian los elementos básicos y los postulados formulados por Euclides, y con base en ellos se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo plano son dos ángulos rectos. Asimismo, se demuestra que hay otros modelos, en que dicha suma es una cantidad superior o inferior a esos dos ángulos rectos. Finalmente, se muestra que hay modelos geom√©tricos que en los que no se cumple el postulado quinto de Euclides, que hay geometr√≠ías no euclídeas.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_019_AplicacionesDeLaTrigonometria

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Aplicaciones de la trigonometría

En esta unidad se presentan algunas aplicaciones de la Trigonometr√≠a plana. Se suponen conocidos por el lector la resoluci√≥n de tri√°ngulos rect√°ngulos, por lo que el estudio se centra en los tri√°ngulos cualesquiera. Como objetivos espec√≠ficos se plantean: ‚ÄĘ Conocer los Teoremas del Seno y del Coseno. ‚ÄĘ Resolver tri√°ngulos cualesquiera.

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_022_SimetriasDeGraficasDeFunciones

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Simetrías de Gráficas de Funciones

El objetivo de esta unidad es adquirir los conceptos de simetría con respecto a una recta y con respecto a un punto en el plano cartesiano y definir los criterios algebraicos que caracterizan dichas simetrías, tanto en coordenadas cartesianas como en coordenadas polares, haciéndo énfasis en las funciones trigonométricas.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a.
Nivel: Licenciatura

Un_028_MinimosCuadrados

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Mínimos cuadrados

Los objetivos de la unidad son los siguientes: - Introducir el método de mínimos cuadrados. - Mostrar ejemplos de su aplicación práctica.

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_029_MetodosDePuntoFijo

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Métodos de punto fijo

Se introducen los métodos iterativos para la resolución de ecuaciones no lineales y se analiza cómo pueden construirse. Asimismo, se muestran ejemplos de convergencia monótona, convergencia oscilante, divergencia monótona y divergencia oscilante. Por último, se presenta la generalización de la construcción de estos métodos de punto fijo, y se comprueba que el de Newton es un caso particular de los mismos.

Área: Matem√°ticas, F√≠sica
Nivel: Licenciatura

Un_030_ElConoYLaEsfera

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El cono y la esfera seg√ļn Arqu√≠medes.

En esta unidad se presentan la esfera y los sectores de un cono circular recto que forman una cubierta ajustada de la esfera. Se evidencia que al hacer dichas secciones más finas, éstas se ajustan muy precisamente a la esfera, por lo que el cálculo de la superficie de la esfera puede hacerse utilizando las secciones del cono cuya área puede calcularse. Adicionalmente, se hace la observación de que los sectores cónicos comparten el área de un cilindro con igual altura y un radio igual al radio medio del sector, así pudiendo relacionar el área de la esfera con la del mínimo cilindro que la contiene, que por cierto es el resultado del cual Arquímedes se sentía más orgulloso.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, C√°lculo
Nivel: Licenciatura

Un_031_mVolumenEnRn

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m-Volumen en Rn

Se presentan la generalización de la fórmula de Herón y del Teorema de Pitágoras a m vectores en R^(n). Se pretende que el lector se familiarice con estas fórmulas y su significado geométrico.

Área: Matem√°ticas, An√°lisis, Variedades lineales
Nivel: Doctorado, Licenciatura

Un_032_DistanciasEntreSubvariedadesLinealesAfines

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Distancias entre subvariedades lineales afines

Se presenta la fórmula para calcular el m-volumen. Una sola fórmula para encontrar las distancias entre puntos, rectas, planos o cualquier par de subvariedades lineales afines de R^m.

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_035_RectaPlanoTangente

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Recta y plano tangente

Se definen: a) La recta tangente a una función en un punto, como la recta que mejor se aproxima a dicha función en el entorno próximo a él, y se determina su ecuación. Se aborda el cálculo de derivadas. b) El plano tangente a una superficie en un punto, como el plano que mejor se aproxima a dicha superficie en el entorno proximo a él. Se presentan tanto las derivadas parciales como las direccionales, y cómo calcular éstas a partir de las primeras.Se ve la relación existente entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad. Se muestra que la existencia de todas las derivadas direccionales, no es suficiente para la existencia del plano tangente. Pero si existe éste, basta calcular las derivadas parciales.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_036_TransformacionesConforme

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Transformaciones conforme

Se estudian las aplicaciones del plano que preservan el ángulo de intersección entre dos curvas, esto es, aquellas que transforman dos curvas que se cortan en un punto con un determinado ángulo en otras dos curvas que se cortan con el mismo ángulo. Estas transformaciones se utilizan en problemas de física matemática gobernados por la ecuación de Laplace ya que permiten convertir un problema de contorno en el plano XY en uno más simple en el plano UV.

Área: Matem√°ticas, An√°lisis, Mapeo conforme
Nivel: Licenciatura

Un_040_CaleidoscopioYTeoriaDeGrupos

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El caleidoscopio y la Teoría de Grupos

Se presenta la geometría del caleidoscopio y se exploran las transformaciones (reflexiones, traslaciones, rotaciones y pasos) involucradas en la producción de las imágenes de un caleidoscopio por medio de la reflexión respecto a los tres lados de un triángulo equilátero. Esto se hace con el objeto de llevar al estudiante a descubrir y conocer las transformaciones lineales isométricas del plano y, a través de ellas, el origen de la Teoría de Grupos.

Área: Matem√°ticas, Algebra, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_042_CurvasCiclicasEnFormaParametrica

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Curvas cíclicas en forma paramétrica

El objetivo de esta unidad didáctica es mostrar al estudiante cómo se genera la gráfica de algunas curvas cíclicas como la trayectoria de un cuerpo en movimiento: Cicloides, Epicicloides e Hipocicloides.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a
Nivel: Licenciatura

Un_043_CurvasParametricasEnElPlano

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Curvas paramétricas en el plano

El objetivo de esta unidad didáctica es mostrar al estudiante cómo se genera la gráfica de algunas curvas cíclicas como la trayectoria de un cuerpo en movimiento y como generalización de las Cicloides, Epicicloides e Hipocicloides: Trocoides, Epitrocoides e Hipotrocoides.

Área: Matem√°ticas. Geometr√≠a anal√≠tica.
Nivel: Licenciatura

Un_052_ElTiroParabolico

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El tiro parabólico

Se estudia el tiro parabólico como un fenómeno físico desde un punto de vista dinámico. Adicionalmente, se hace un estudio geométrico de las trayectorias generadas por un proyectil disparado a igual velocidad y con distintos ángulos, incluyendo su envolvente y el lugar geométrico de sus focos. Se incluye una justificación de dicho abordaje geométrico desde el punto de vista de conservación de la energía, así como una deducción del dicho abordaje.

Área: Matemáticas, Geometría analítica, Física, Cinemática
Nivel: Licenciatura

Un_056_VolumenesDeRevolucion

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Vol√ļmenes de revoluci√≥n

Una de las aplicaciones de la integral definida es el c√°lculo del volumen de un s√≥lido de revoluci√≥n, que se obtiene al rotar una regi√≥n del plano alrededor de una recta de ese mismo plano. En esta unidad se busca el logro del siguiente objetivo: ''Calcular vol√ļmenes de revoluci√≥n generado por el giro alrededor del eje OX de la regi√≥n limitada por una o dos funciones"

Área: Matem√°ticas
Nivel: Licenciatura

Un_071_CentroidesDeAreasPlanas

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Centroides de √°reas planas

En esta esta unidad didáctica el estudiante puede aprender a localizar los centroides de secciones geométricas simples, compuestas y complejas.

Área: F√≠sica, Mec√°nica, Est√°tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_082_TeoremaDePick

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El teorema de Pick

Presentar un resultado poco conocido para el c√°lculo del √°rea de pol√≠gonos simples cuyos v√©rtices se encuentran en coordenadas enteras: el Teorema de Pick. Se trata de una herramienta muy √ļtil que es, adem√°s, f√°cil de utilizar y aprender.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Algoritmos
Nivel: Licenciatura

Un_110_TeoremasDeCevaYMenelao

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Los teoremas de Ceva y Menelao

Se estudian los teoremas de Ceva y Menelao y algunas de sus aplicaciones, por ejemplo: la existencia del ortocentro, incentro y gravicentro de un triangulo. Los teoremas de Ceva y Menelao están separados 15 siglos en la historia, sin embargo, se estudian juntos ya que uno es el dual del otro. El teorema de Ceva da condiciones para que tres puntos que están en los lados de un triángulo sean colineales y el de Menelao dice cuándo tres rectas que pasan por los vértices de un triángulo son concurrentes.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a cl√°sica
Nivel: Licenciatura

Un_111_AlturasOrtocentro

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Alturas y ortocentro de un tri√°ngulo

En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices. En este interactivo empezaremos con las alturas y el ortocentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que las alturas de un triángulo son concurrentes.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a cl√°sica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_112_MedianasyGravicentro

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Medianas y gravicentro de un tri√°ngulo

En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices. En este interactivo estudiamos las medianas y el gravicentro, probamos, usando el Teorema de Ceva que las medianas de un triángulo son concurrentes.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a cl√°sica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_113_MediatricesCircuncentro

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Mediatrices y circuncentro de un tri√°ngulo

En un triángulo podemos distinguir cuatro centros: ortocentro, circuncentro, baricentro, incentro; que son los puntos de intersección de cuatro grupos de rectas notables: alturas, mediatrices, medianas, bisectrices. En este interactivo estudiamos las mediatrices y el circuncentro, probamos que las mediatrices de un triángulo son concurrentes.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a cl√°sica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_115_CirculoPotenciaEjeRadical

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Círculo, potencia, eje radical

La potencia de un punto respecto a un c√≠rculo es una propiedad que tiene que ver con la distancia de √©l a dicho c√≠rculo, pero da m√°s informaci√≥n, por lo cual es posible hacer construcciones y obtener resultados interesantes a partir de ella. En particular, se puede definir la recta radical de dos c√≠rculos, que generaliza a la recta que pasa por los puntos de interseccion, a√ļn en el caso en el que los c√≠rculos no se corten. La idea de este interactivo es mostrar las construcciones de potencia de un punto y eje radical y algunas propiedades de ellos.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a cl√°sica
Nivel: Licenciatura

Un_116_RotacionesYTranslaciones

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Rotaciones y traslaciones de cónicas

Estudio de las rotaciones y traslaciones en el plano caratesiano aplicadas a las cónicas para ver cómo se simplifican sus ecuaciones y pueden obtenerse fácilmente sus características.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_117_RotacionesYTraslacionesParabola

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Rotaciones y traslaciones de la par√°bola

Estudio de las rotaciones y traslaciones en el plano caratesiano aplicadas a las parábolas para ver cómo se simplifican sus ecuaciones y pueden obtenerse fácilmente sus características.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_120_LugaresGeometricosRecta

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Lugares Geométricos - Recta

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se plantea una condición que genera una recta.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_121_LugaresGeometricosSegmento

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Lugares Geométricos - Segmento

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se plantea encontrar el lugar geométrico de los puntos medios de ciertos rectángulos inscritos en un triángulo.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_122_LugaresGeometricosCirculo

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Lugares Geométricos - Recta

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se plantea una condición que genera un círculo.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_123_LugaresGeometricosConicas

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Lugares Geométricos - Cónicas

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se consideran dos puntos A y B y una constante K. Se buscan los puntos M para los cuales el producto de las pendientes de las rectas AM y BM es igual a K. En la imagen se ve que el lugar geométrico formado por dichos puntos M forman una cónica.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_124_LugaresGeometricosCirculo2

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Lugares geométricos círculo. Parte 2

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se hace una construccion del lugar geométrico que describe un punto M cuando se mueve un punto A en un círculo. Se prueba que dicho lugar geométrico también es un círculo.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato

Un_125_LugaresGeometricosHiperbola

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Lugares Geométricos - Hipérbola

El objetivo de esta serie de interactivos es estudiar ejemplos planteados que cuentan con condiciones que debe cumplir un punto del plano para poder ser considerado un elemento del lugar geométrico. Una vez establecida las condiciones, procederemos a encontrar la ecuación que debe satisfacerse para identificar la curva. En este caso, se hace una construccion del lugar geométrico que describe un punto M cuando un vértice de un triángulo se mueven sobre una recta de manera que el área de dicho triángulo sea constante. Se prueba que dicho lugar geométrico es una hipérbola.

Área: Matem√°ticas, Geometr√≠a, Geometr√≠a Anal√≠tica
Nivel: Licenciatura, Bachillerato



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