Una \(superficie \) \(cuadrática \) es la gráfica de una ecuación de segunto grado con variables \(x\), \(y\) y \(z\) en un espacio tridimensional. La forma más general de esta ecuación es \[ Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Jz+K=0 \] donde \(A \), \(B \), \(C \), \(D \), \(E \), \(F\), \(G \), \(H \), \(J \) y \(K \) son constantes. Esta ecuación se llama precisamente Ecuación general de segundo grado, y puede simplificarse por medio de una rotación y/o una translación, de manera que la ecuación quedará como \[ Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dz +E= 0 \] Observa que ésta última no tiene términos cruzados, es decir los términos \(xy\), \(yz\) y \(xz\). Otro tipo de ecuación es la Ecuación canónica. Un ejemplo es la ecuación canónica de la elipsoide: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\), cuya gráfica es

En este caso \(A=b^2c^2\), \(B=a^2c^2\), \(C=a^2b^2\), \(D=0\) y \(E=-a^2b^2c^2\), de manera que podemos pasar de una a otra.

En la sección anterior ya vimos los nombres y las gráficas de estas superficies. Estas gráficas pueden cambiar de acuerdo a cómo son y cómo cambian las constantes \(A \), \(B \), \(C \), \(D \) y \(E \), como veremos en la siguiente sección. En el siguiente video podrás ver algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado y su gráfica.

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