TFdA

Toda ecuación polinomial de la forma \[c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_{n-1}z^{n-1}+c_nz^n=0\] en la que los coeficientes \(c_0\), \(c_1\),..., \(c_n\) son números complejos, cuyo grado \(n\) es mayor o igual a uno, y cuyo coeficiente \(c_n\) no es cero, tiene \(n\) raíces complejas, siempre y cuando cada raíz múltiple de multiplicidad \(m\) se cuente como \(m\) raíces.

Es decir que un polinomio \(p ( z )\) de grado \(n\) tiene \(n\) valores \(z_i\) para los que \(p ( z_i ) = 0 \). Tales valores se llaman raíces del polinomio. Esta afirmación es equivalente a la afirmación de que todo polinomio que tiene coeficientes complejos y grado mayor o igual a 1 tiene al menos una raíz compleja. Un ejemplo de un polinomio con una sola raíz con multiplicidad mayor a uno es \[z ^ 2-2z + 1 = (z - 1 ) (z - 1 )\] que tiene \(z = 1\) como una raíz de multiplicidad dos.

Otro ejemplo, las raíces del polinomio \[x ^ 3-2x ^ 2 -x + 2 = (x - 2 ) (x - 1 ) (x + 1 )\] son \(-1\), \(1\) y \(2\), todas con multiplicidad uno.

Encontrar las raíces de un polinomio es por lo tanto equivalente a factorizar el polinomio en factores lineales (de grado uno), y las raíces del polinomio no son más que las preimágenes del cero. En los números complejos, si el polinomio es de grado \(n\), su factorización está compuesta por \(n\) factores lineales, no necesariamente distintos entre sí.

Este teorema nos habla sobre la existencia de dichas raíces, mas no nos dice cómo encontrarlas. Sin embargo cualquier polinomio puede ser factorizado numéricamente.

En la siguiente escena veremos una representación geométrica de las potencias de un número complejo y en seguida, una interepretación geométrica del teorema fundamental del álgebra para polinomios hasta de grado cinco.